[Matemáticas] La suma de Gauss

Érase una vez un niño alemán llamado Carl Friedrich Gauss. Cuando tenía diez años, en 1787, su profesor de la escuela, enfadado porque sus alumnos se portaban mal, le puso un problema matemático al pequeño Carl y a sus compañeros.

Los niños debían sumar todos los números del 1 al 100; es decir, 1+2=3+3=6+4=10+5=15+6=21 y así sucesivamente hasta sumar los 100. El profesor se sentó en su silla a leer el periódico, confiaba en que tendría horas hasta que los niños sumaran todos los números. Sin embargo, el pequeño Gauss no tardó ni cinco minutos en ir hacia el profesor y darle el resultado: 5050. ¿Cómo lo había hecho?

Hoy en día, el matemático, astrónomo y físico alemán Carl Friedrich Gauss es considerado uno de los grandes genios de la física, no sólo por la suma de Gauss (el más simple de sus teoremas) sino también por la prueba de la Teoría Fundamental del Álgebra, el cálculo de órbitas, la famosa Campana de Gauss (representación gráfica de la ecuación matemática que corresponde a una distribución normal), diversas teorías sobre el magnetismo, la construcción de un telégrafo eléctrico primitivo... y muchas cosas más.

Pero mucho antes de todo eso, el pequeño Gauss creo un teorema sin apenas saberlo. Veamos como resolvió Gauss el problema planteado por su profesor:
Gauss tenía que sumar la siguiente serie: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 + 100
No obstante, se dio cuenta de que reordenar los elementos de esta suma, sumando siempre los simétricos, facilitaba enormemente las cosas:

(1 + 100) = 101
(2 + 99) = 101
(3 + 98) = 101
...
(49 + 52) = 101
(50 + 51) = 101

Así, todas las sumas de simétricos daban 101. Habiendo 50 posibles pares, el resultado era de 50 x 101, o sea, 5050. Más tarde, aplicaría este mismo principio para hallar la fórmula de la suma de la serie geométrica, entre otras cosas.

Los matemáticos no calculan, sino que piensan, por eso el pequeño Gauss no necesitó sumar cada uno de los números, al llegar, tras pensar un poco, a esta teoría que se resume matemáticamente en esta formula que da la suma de n términos de una progresión aritmética de la que se conocen el primero y el último término: